Osaühingus „Präänik“ valmistatakse päevas 60 kg küpsiseid. Iga päeva lõpus pakitakse selle päeva toodang ühesugustesse kastidesse – kas ainult suurtesse või ainult väikestesse, kusjuures ükski kast ei jää poolikuks. Väikeseid kaste kulub 4 võrra rohkem kui suuri kaste, sest väike kast mahutab 500 g vähem küpsiseid kui suur kast. Mitu kilogrammi küpsiseid mahutab suurem kast ja mitu sellist kasti on vaja ühe päeva toodangu pakkimiseks?

Linnade A ja B vaheline kaugus mööda peateed on 75 km ja mööda kõrvalteid 81 km. Linnast A väljusid samaaegselt buss ja veoauto. Buss sõitis mööda peateed ja läbis tunnis 5 km rohkem kui veoauto, mis sõitis mööda kõrvalteid. Buss jõudis linna B 18 minutit veoautost varem. Leia veoauto kiirus.

Õpilastele korraldatakse õppereis. Kui iga õpilane maksab 5 eurot, jääb õppereisi kulude kogusummast puudu 4,75 eurot, kui aga iga õpilane maksab 5,50 eurot, siis jääb 4,75 eurot üle. Mitu õpilast osaleb õppereisil ja kui suured on õppereisi kogukulud?

Raamatukogu loengusaalis on 126 kohta. Kohtade arv igas reas on 5 võrra suurem kui ridade arv. Mitu rida on selles saalis?

Ülekanne
Kauba hind tõusis 20%. Mitu protsenti peaks uut hinda veel tõstma , et kogu hinnatõus oleks 44%? Mitme protsendi võrra (NB! „võrra“, st liitmist-lahutamist) oli teine kallinemine suurem esimesest?

Ruudukujulise plekitahvli ühest äärest lõigatakse ära 8 dm laiune riba, kusjuures järelejäänud plekitahvli pindala on 209 dm². Arvuta esialgse plekitahvli serva pikkus.

-diip- Kirjutas:
-------------------------------------------------------
> Valime suvaliselt ühe rehkendaja ja paigutame ta k
> ohvilauda ära...

Tänan, -diip-, mul muiddugi kulub veel natuke aega, et aru saada :D.

... ja õppida kirjutama sõna "muidugi".

Raamatukogu loengusaalis on 126 kohta. Kohtade arv igas reas on 5 võrra suurem kui ridade arv. Mitu rida on selles saalis?

Saalis on 9 rida.
Otsisin peast sellise arvu ruutu, mis lõpeks kas ühe või kuuega, kuna "5 võrra suurem kui ridade arv" tähendab, et see "suurem" pidi lõpema kas viie või nulliga. (Seletus pole vist suurem asi)
Sõelale jäi 9 ruut ehk 81. 5*9=45 ja 81+45=126. Valmis, eksole.

Osaühingus „Präänik“ valmistatakse päevas 60 kg küpsiseid. Iga päeva lõpus pakitakse selle päeva toodang ühesugustesse kastidesse – kas ainult suurtesse või ainult väikestesse, kusjuures ükski kast ei jää poolikuks. Väikeseid kaste kulub 4 võrra rohkem kui suuri kaste, sest väike kast mahutab 500 g vähem küpsiseid kui suur kast. Mitu kilogrammi küpsiseid mahutab suurem kast ja mitu sellist kasti on vaja ühe päeva toodangu pakkimiseks?

Suuri kaste kulub X tk.
Väikeseid kaste kulub X+4 tk.
Suurde kasti läheb y kg küpsiseid.
Väikesesse kasti läheb y-0,5 kg küpsiseid.
xy=60 kg
(x+4)*(y-0,5)=60 kg





Kinni jooksis.
Toore jõuga leidsin (päris kiiresti, muide - ainult ühe vale võimaluse arvutasin läbi), et suurde kasti mahhtus 3 kg küpsiseid ja neid kulus 20 kasti ning väike kast mahutas 2,5 kg küpsiseid ja neid läks vaja 24 karpi.
Vaaaaaaabandust...

Ruudukujulise plekitahvli ühest äärest lõigatakse ära 8 dm laiune riba, kusjuures järelejäänud plekitahvli pindala on 209 dm². Arvuta esialgse plekitahvli serva pikkus.


x*(x-8)=209
x²-8x=209






Ma'i või...
Valemid EI OLE mu tugevaim külg.
Võtaks loogika appi: 209 peab olema kahe arvu korrutis, millest üks on teisest 8 võrra väiksem. Kumbki arvudest ei saa olla 5 ega 10, sest korrutis ei lõpe 5-e ega nulliga. Kumbki arvudest ei saa jaguda kolmega, sest vastus ei jagu kolmega.
Palju proovimiseks võimalusi ei jäänud.
Sellise tulemuse sain arvude 11 ja 19 korrutamisel, seega otsitav arv peab lõpuks olema 19.
Algselt oli plekitahvli serva pikkus 19 dm.

Kauba hind tõusis 20%. Mitu protsenti peaks uut hinda veel tõstma , et kogu hinnatõus oleks 44%? Mitme protsendi võrra (NB! „võrra“, st liitmist-lahutamist) oli teine kallinemine suurem esimesest?

Oletame, et kaup maksis alguses 100 tugrikut.
Pärast 20% hinnatõusu maksis kaup 120 tugrikut.
Kui kogu hinnatõus oleks 44%, maksaks kaup 144 tugrikut, 24 raha rohkem kui pärast 20% hinnatõusu. 24 tugrikut oleks 120-st 20%, seega oleks teine kallinemine esimesest suurem kõva 0% ehk teisisõnu täpselt sama suur kui esimene.

Magama nüüd kähku, homme saab lasterohke päev olema. Pole neil tänapäeva noortel mitte midagi targemat teha kui käia maal vanainimesi kiusamas, hullu küll....

Moosimadu, ÕIGUS. Head Emadepäeva!

V: 9 rida Lahendus. Ridade arv on X, kohtade arv ühes reas on X+5, kokku kohti 126. Koostame võrrandi
X*(X+5)=126 → X²+5X-126=0
X₁=9 ja X₂=-14 miinus ei sobi
Kontroll: 9 rida, igas reas 9+5=14 kohta, 9*14=126 kohta kokku. Sobib.

V: 20 suurt kasti, igasse kasti 3 kg Lahendus. Võrrandisüsteem, kus X=kastide arv, Y=kg hulk kastis
Y*X=60 → Y=60/X
(Y-0,5)*(X+4)=60

Asendame (60/X-0,5)*(X+4)=60
60+240/X-0,5X-2-60=0 koondame 60-ned ja korrutame läbi *(-X)ga
0,5X²+2X-240=0 jagame kõiki 0,5ga

X²+4X-480=0 lahendame (taandatud) ruutvõrrandi
X₁=20 ja X₂=-24 miinus ei sobi

Asendame esimesse võrrandisse Y=60/20 → Y=3 kg kastis
Väikeseid ei küsita. Kontrolliks: 20+4=24 kasti, igas 2,5 kg 24*2,5=60 kasti, sobib.


V: 19 dm; Lahendus. Plekitükk oli ruut, st tema pindala oli a², ära oli lõigatud 8dm ühest servast (a-8) teine oli ikka a.
(a-8)*a=209 → a²-8a-209=0 → a₁=19; a₂=-11 miinus ei sobi.
endine serv oli 19 dm. Peale äralõikamist 19-8=11. Uue pindala 11*19=209 dm²

V: kaup kallines 20% ja 20%

Bruno, Benno ja Bernhard on kolm venda, kellest üks räägib alati tõtt, teine alati valet ning kolmanda jutus esinevad tõesed ja väärad väited vaheldumisi. Üksteise kohta rääkisid poisid järgmist: Bruno: " Bennol on heledad juuksed ja Bernhardil on samuti heledad juuksed." Benno: "Bernhardil on heledad juuksed, aga Bruno on punapea." Bernhard: " Bruno on punapea ja Benno on samuti punapea." Tee kindlaks, kas Benno räägib tõtt, valet või mõlemat vaheldumisi. (abiks: igas lauses on 2 väidet, tõerääkijal mõlemad tõesed, valetajal mõlemad valed, juuste värv pole vastuses oluline)

Bruno: " Bennol on heledad juuksed ja Bernhardil on samuti heledad juuksed." Benno: "Bernhardil on heledad juuksed, aga Bruno on punapea." Bernhard: " Bruno on punapea ja Benno on samuti punapea." Tee kindlaks, kas Benno räägib tõtt, valet või mõlemat vaheldumisi. (abiks: igas lauses on 2 väidet, tõerääkijal mõlemad tõesed, valetajal mõlemad valed, juuste värv pole vastuses oluline)
Bruno on a.
Benno on b.
Bernhard on c.
Blondi tähistab 1, punapead 2.

a - b1, c1
b - c1, b2
c - a2, b2

Nonii. Selgus, et meie Bennokene natukene valetab ja natukene räägib tõtt ka. Sihuke luuletaja, nagu näha - päris valevorst ei ole, aga tõe teeb ilusamaks. Kumb teisest kahest vennast päris valevorst on, jääb paraku vastusest välja tulemata.

ÕIGUS, Moosimadu.
Vastus: Benno räägib tõtt ja valet vaheldumisi.

Pikaajaliste vaatluste tulemusena tegi rühm maailma juhtivaid drakonolooge kindlaks järgmised faktid.
a) Draakon on õnnelik, kui tal pole lapsi, kes ei oska lennata.
b) Kõik rohelised draakonid oskavad lennata.
c) Draakon, kelle vanematest vähemalt üks on roheline, on ka ise roheline.
Tõesta nende faktide abil uurijate järeldus, et kõik rohelised draakonid on õnnelikud.

Pikaajaliste vaatluste tulemusena tegi rühm maailma juhtivaid drakonolooge kindlaks järgmised faktid.
a) Draakon on õnnelik, kui tal pole lapsi, kes ei oska lennata.
b) Kõik rohelised draakonid oskavad lennata.
c) Draakon, kelle vanematest vähemalt üks on roheline, on ka ise roheline.
Tõesta nende faktide abil uurijate järeldus, et kõik rohelised draakonid on õnnelikud.

Iga draakon, kellel on kasvõi üks vanemaist roheline on ka ise roheline ja oskab lennata, sest kõik rohelised draakonid oskavad lennata. Seega on nende vanemail põhjust olla õnnelikud, sest neil pole (mitterohelisi) lapsi kes ei oska lennata.
Sama soojaga saavad roheliste draakonite õnnest osa nede mitterohelised kaasad.

Moosimadu, ÕIGUS.

Linnas on kolm tänavat T, V ja P. Kõik linlased, kes elavad tänaval T, räägivad alati tõtt, tänava V elanikud valetavad alati, tänava P elanike kõnes esinevad aga tõesed ja väärad laused vaheldumisi. Kord märgati linna tuletõrjes eemalt tõusvat suitsusammast ja kohe helises ka telefon: Helistaja: "Meie tänaval on tulekahju!" Korrapidaja: "Missugusel tänaval?"
Helistaja: "Tänaval P."
Millisele tänavale pidid sõitma tuletõrjujad?

Linnas on kolm tänavat T, V ja P. Kõik linlased, kes elavad tänaval T, räägivad alati tõtt, tänava V elanikud valetavad alati, tänava P elanike kõnes esinevad aga tõesed ja väärad laused vaheldumisi. Kord märgati linna tuletõrjes eemalt tõusvat suitsusammast ja kohe helises ka telefon: Helistaja: "Meie tänaval on tulekahju!" Korrapidaja: "Missugusel tänaval?"
Helistaja: "Tänaval P."
Millisele tänavale pidid sõitma tuletõrjujad?

T -- tõde, tõde
V -- vale, vale
P -- tõde, vale

Helistaja: põleb tänaval P.
T -- Helistaja ei saanud olla sellelt tänavalt, sest siis oleks ju helistaja valetama oma tänava nime kohta, aga see oli sihuke aus tänav, eksole.
V -- tulekahju ei saanud olla nende tänaval, sest siis ei oleks klappinud esimene lause: "meie tänaval põleb". Liiga aus tolle tänava rahva jaoks. Küll aga eeldades, et mõlemad väited olid niikuinii valed, leian, et küllap siis T tänaval lõõmas midagi.
P -- Helistaja ei saanud olla sellelt tänavalt, sest üks väide pidanuks olema vale - kas siis "meie tänaval" või "tänaval P"

Pakun, et helistaja oli tänavalt V, aga põleng tänaval T.

Moosimadu, ÕIGUS.

T R I I K + V A L L A K = K U P R I N
K=8; R=2; A=9.

..T R I I K +
V A L L A K =
___________
K U P R I N

..T 2 I I 8 +
V 9 L L 9 8 =
___________
8 U P 2 I N

..5 2 0 0 8 +
7 9 1 1 9 8 =
___________
8 4 3 2 0 6

Moosimadu, ÕIGUS.
V: 52 008+791 198=843 206

Annel, Pillel ja Siiril on igaühel kaks paari teksapükse. Ühel päeval avastasid tüdrukud, et neil on kõigil jalas ühesugused püksid. Millised need püksid on, kui Annel on olemas kitsad taskutega püksid ja helesinised taskuteta püksid, Pillel taskuteta püksid ja helesinised kitsad taskutega püksid, Siiril laiad püksid ja tumesinised kitsad taskutega püksid?

Annel, Pillel ja Siiril on igaühel kaks paari teksapükse. Ühel päeval avastasid tüdrukud, et neil on kõigil jalas ühesugused püksid. Millised need püksid on, kui Annel on olemas kitsad taskutega püksid ja helesinised taskuteta püksid, Pillel taskuteta püksid ja helesinised kitsad taskutega püksid, Siiril laiad püksid ja tumesinised kitsad taskutega püksid?

Annel: helesinised taskuteta, kitsad taskutega.
Pillel: taskuteta ja helesinised kitsad taskutega.
Siiril: laiad ja tumesinised kitsad taskutega.

Paneme kolm lakoonilisemalt kirjeldatud paari kokku ja saame teada, et piigade sarnased püksipaarid olid helesinised, taskuteta ja laiad.

Moosimadu, ÕIGUS.

Otsi erinevaid (üks korrutusmärk!) korrutisi, vähemalt 7 erinevat korrutist on veel, kus on numbrid 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Nulli ei ole.
Vajadusel annan vihjeid, näiteks viimane number või ... need võivad igavaks minna muidu.
NÄITES on ühekohaline arv korrutises, ülejäänud 7 korrutist on kahekohalisega.
4*1963 =7852.

Otsi erinevaid (üks korrutusmärk!) korrutisi, vähemalt 7 erinevat korrutist on veel, kus on numbrid 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Nulli ei ole.
Vajadusel annan vihjeid, näiteks viimane number või ... need võivad igavaks minna muidu.
NÄITES on ühekohaline arv korrutises, ülejäänud 7 korrutist on kahekohalisega.
4*1963 =7852.

Mõned:
39*186=7254
12*483=5796
4*1738=6952

Nii, et üks neljaga korrutamine oli siiski veel. Mine tea, ehk pole see viimane üllatus...

Moosimadu, ÕIGUS, ka oli veel üks 4-ga. :(

V: 4* 1738=6952: 12*483=5796; 39*186=7254; :))

Linnade A ja B vaheline kaugus mööda peateed on 75 km ja mööda kõrvalteid 81 km. Linnast A väljusid samaaegselt buss ja veoauto. Buss sõitis mööda peateed ja läbis tunnis 5 km rohkem kui veoauto, mis sõitis mööda kõrvalteid. Buss jõudis linna B 18 minutit veoautost varem. Leia veoauto kiirus.

Veoauto kiirus x
Bussi kiirus x+5

Veoauto sõiduaeg 81/x
Bussi sõiduaeg 75/(x+5)
Vastuses küsitakse kiirust km/h, seega tuleb bussi kiiremini jõutud minutid teha tundideks: 18 min=3/10 tundi ehk 0,3 tundi.
See on aeg, mille võrra peab buss veokast ette jõudma.

Valmis. Mõistus sai otsa. Asun jõuga muukima:
Kui veoauto sõidaks 60 km/h, siis läbiks ta 81 km 1,35 tunniga.
Sellisel juhul peaks buss 75 km läbima 65 km/h ja selleks kuluks tal aega 1,153 jne tundi.
Uus katse:
Kui veoauto sõidaks 50 km/h, siis läbiks ta 81 km 1,62 tunniga.
Sellisel juhul peaks buss 75 km läbima 55 km/h ja selleks kuluks tal aega 1,363 jne tundi.
Ei sobi jälle, buss peab väledam olema.
Uuesti:
Kui veoauto sõidaks 45 km/h, siis läbiks ta 81 km 1,8 tunniga.
Sellisel juhul peaks buss 75 km läbima 50 km/h ja selleks kuluks tal aega 1,5 tundi.
See näeb nii ilus välja, et väärib kontrollimist: veoauto sõiduks kulutatud aeg miinus bussi sõiduaeg ehk 1,8-1,5=0,3 tundi, mis ongi 18 minutit ehk aeg, mille võrra buss veoautost kiiremini kohale jäidis.
Kiirused olid seega:
Veoautol 45 km/h ja bussil 50 km/h.

Moosimadu, ÕIGUS.

Veoauto kiirus x; ja aeg y.
Bussi kiirus x+5 ja aeg y-0,3

v=s/t, ehk kiirus=teepikkus/aeg,
Ülesannetes, kus on tegu kiirusega, saab „spikrina“ kasutada seda valemit, selle järgi saab koostada võrrandisüsteemi.

x=81/y
x+5=75/y-0,3

asendada x alumises tema väärtusega ülemisest, saab kahe võrrandi asemel ühe ja kahe tundmatu asemel ühe.

81/y+5=75/y-0,3

murdude liitmisel-lahutamisel tuleb leida ühine nimetaja, siin on see y(y-0,3), nüüd korrutada kõik liikmed (lugejad) ükshaaval sellega läbi. Niimoodi, 81* y(y-0,3)/y taandada lugejast ja nimetajast y, alles jääb 81*(y-0,3) avada sulud läbikorrutamisega 81y-24,3, samamoodi järgmised ja tuleb

81y-24,3+5y²-1,5y=75y
nüüd tuleb koondada sarnased liikmed, järele jääb ruutvõrrand

5y²+4,5y-24,3=0
selle lahendamiseks kasutada taandamata (siin on 5y², ei ole taandatud y²) ruutvõrrandi lahendivalemit ja vastuseks tuleb y₁=1,8 ja y₂=-2,7 miinusaeg ei sobi. x leidmiseks asendame y-i väärtuse esimesse võrrandisse.

x=81/1,8= 45

Siit vastus, veoauto kiirus oli 45 km/h

Rohkem ma „kärbse elulugu“ ei kirjuta, kui lugejate hulgas on matahuvilisi (siinsel tasemel), siis praeguselt lk saab vaadata lihtsalt lahti seletatud ülesande lahenduskäiku.

Viievilja helbesegus on hirssi (6 osa), otra (5 osa), kaera (4 osa), rukist (3 osa) ja tatart (2 osa) mille kogused suhtuvad nagu 6:5:4:3:2. Kui palju on 400 g helbesegus rukist (g) ja mitu protsenti moodustab helbesegust oder?

Ei-ei, las see kärbse elulugu olla ja lase ka tulevikus rahulikult samas vaimus edasi. Mind ennast mõnevõrra häiriv see, et ma suudan need võrrandid mingi tasemeni konstrueerida ja siis jään seda vigurit punnissilmi jõllitama ja ei saa aru, kuhu ma kinni jooksin. Su seletused (kui nad ka meelde ei jää) aitavad asjast lihtsalt aru saada.

Kui mineviku matemaatikud oleksid valemite asemel jõumeetodeid pruukinud ei oleks meil vist veel korrutustabelitki olemas.

Viievilja helbesegus on hirssi (6 osa), otra (5 osa), kaera (4 osa), rukist (3 osa) ja tatart (2 osa) mille kogused suhtuvad nagu 6:5:4:3:2. Kui palju on 400 g helbesegus rukist (g) ja mitu protsenti moodustab helbesegust oder?

Suhe 6:5:4:3:2 jaotab helbesegu 20-ks osaks, 400 grammise paki puhul kaalub iga osa 20 grammi.

Rukist on sellises pakis 3 osa ehk 3*20=60 grammi.
Otra on 5*20=100 grammi ehk 1/4 ehk 25%

Moosimadu, ÕIGUS.

Kärbse eluloo osas, ei tea kui (KUI) palju lahti seletada, tean, et sageli ei mäletatagi ühise nimetaja nõuet murdude juures, aga kui see elementaarselt meeles on, siis jälle tobe seletust lugeda. Keegi ju ei (julge?) küsi täpsemalt. Rästul oli mingi pisiasi meelest läinud, aga küsimise asemel ta hoopistükkis kadus ära...

N E W T O N + K L E I N = K E P L E R K=9; N=8; E=4.

mulle tundus, et just järgnev ülesanne meelitab loogikuid lahendama, aga lahendatud pole ja ma annan vastuse.

Õpilastele korraldatakse õppereis. Kui iga õpilane maksab 5 eurot, jääb õppereisi kulude kogusummast puudu 4,75 eurot, kui aga iga õpilane maksab 5,50 eurot, siis jääb 4,75 eurot üle. Mitu õpilast osaleb õppereisil ja kui suured on õppereisi kogukulud?

Lahendus: x*5.- tekib puudujääk 4.75 x*5,5 tekib ülejääk 4.75
5,5 - 5.- = 0,50 senti on raha, mis tekitab üheaegselt nii puudu- kui ka ülejäägi, seega 0,50/2=0,25 oleks täpne lisa puudujäävale osamaksule ja ka miinus (5.50) liigsest. Järelikult on täpne summa 5.25 €.
Õpilaste arvu leidmiseks tuleb puudu-ülejäägi summa (4.75) jagada leitud puudu-ülejäägi osaga (0,25)

4.75/0,25=19 seega on õpilaste arv 19

Õppereisi kogusumma on 19*5.25=99.75
V: 19 õpilast ja 99,75 eurot