Kas on võimalik 25 krossi lahti vahetada 10-ks rahatäheks, kui käibel on vaid rahatähed 1, 3, 5 ja 25 krossi?

Ei mängi välja, ikka jääb kas rohkem või vähem münte.
Paar võimalust:
6X1; 3X3 ja 2X5 -- 11 münti
7X1; 1X3 ja 2X5 -- 11 münti
3X1; 4X3 ja 2X5 -- 9 münti
1X1; 3X3 ja 3X5 -- 7 münti

Miks?

ÕIGUS, Moosimadu.
Lahendus: ei ole võimalik, sest kümne paaritu arvu summa on alati paarisarv ning seega ei saa olla nende summa 25 krossi, mis on paaritu.

Kas kahe paaritu arvu ruutude summa saab jaguda 4-ga? Tuua näide või tõestada, et see pole võimalik.

Kas kahe paaritu arvu ruutude summa saab jaguda 4-ga? Tuua näide või tõestada, et see pole võimalik.

Täiesti matemaatikavõhiklik arutelu: kuna paaritu arvu ruut on paaritu arv, siis kahe paaritu arvu summa saab olla selline paarisarv, kus neljaga jagades jääb alati järgi jääk 2, seega kahe paaritu arvu ruudu summa ei saa jaguda neljaga,

3*3=9
5*5=25
9+25=34
34/4=8,5

7*7=49
9*9=81
49+81=130
130/4=32,5

Ja nii kogu aeg, ikka jääb 2 üle.

Põhimõtteliselt õige, aga mulle jäi sellest jutust selgusetuks, miks jääb alati jääk 2.

Paaritu arv annab 4-ga jagades jäägi 1 või 3. Võib kirjutada 4k + 1 ja 4k + 3. Ruutu võttes
16k² + 8k + 1 ja
16k² + 24k + 9
Selgub, et mõlemad annavad neljaga jagades jäägi 1. Summa annab seega jäägi 2.

mhm, mul oli isegi raskusi sõnastuse otsimisega, toda kohta, et paaritu arvuga jagamisel jääb jääk 1 või 3 ma kirja panna ei taibanudki.
Muig.. peas jooksevad numbrid nagu pisikesed valged ja hallid hiired neljakaupa käpakestest kinni hoides nagu värviline fraktaal ringi, aga no kuidas ma seletan, et saba lõppu jäävad kaks hallikest onmaette nukrutsema?

Kas kahe paaritu arvu ruutude summa saab jaguda 4-ga?

Mul on ka seletamisega suuremad raskused kui lahendamisega.

Kooliajast on siiski meeles, et paarituid arve võis kirjutada kujul 2n+1. Kui nüüd tähistada meie liidetavad paaritud arvud näiteks 2x+1 ja 2y+1 ning nende ruudud kokku liita, siis

(2x+1)²+(2y+1)²=4x²+4x+1+4y²+4y+1=
4(x²+x+y²+y)+2

Nii et saame ühe neljaga jaguva arvu, millele on liidetud 2 - see summa ei saa enam täpselt neljaga jaguda, see õnnetu 2 seal lõpus jääb ikka üle.

Simmo: “Mul oli karbis kommi- ning šokolaadipabereid kokku 439. Kui ma võtsin välja teatud arvu kommipabereid ja samapalju šokolaadipabereid, siis karpi jäi kommipabereid kolm korda rohkem kui šokolaadipabereid.”
Timmo: “See ei saanud nii olla!” Kas Timmol oli õigus?

Muidugi oli Timmol õigus!

Algul oli Simmol paaritu arv pabereid. Ta võttis sealt välja paarisarvu pabereid, karpi jäi paaritu arv. Nüüd väidab Simmo, et karbis on kommipabereid kolm korda rohkem kui šokolaadipabereid - ütleme, et x šokolaadipaberit + 3x kommipaberit ehk 4x misiganes paberit - see on neljaga jaguv arv ja ei saa olla paaritu.

Kaks arbuusimüüjat tülitsesid müügikoha pärast. Kaval-Ants pakkus neile oma abi tüli lahendamiseks. Ta paigutas ringikujuliselt maha teatud arvu korve ja ütles: ”Müügikoha saab endale see, kes oskab paigutada arbuuse korvidesse nii, et igas kahes kõrvutiasetsevas korvis oleks täpselt ÜHE võrra erinev arv arbuuse. Kes ülesandega toime ei tule, loovutab 10 arbuusi mulle.” Missuguse korvide arvu valis Kaval-Ants, kui ta oli kindel, et lahkub turult 20 arbuusiga?

Mina sellises olukorras oleks võtnud mingi paaritu arvu korve... aga tegelikult ma eriti kaval ei ole. :(

Õigus, ab_x, Timmol oli õigus.

Vastus: Mistahes (ühest suurem) paaritu arv.

Olgu korvide arv n ning nendesse paigutatavate arbuuside arvud a₁, a₂, ... an, siis on iga liidetava väärtus vaadeldavas summas, kas 1 või (–1), st. summa paarsus langeb kokku liidetavate arvu n paarsusega. Niisiis ei ole paaritu arvu n korral võimalik arbuuse nõutaval viisil korvidesse paigutada - teiselt poolt saame mistahes paarisarvu n korral nõutava paigutuse, pannes korvidesse näiteks vaheldumisi 0 ja 1 arbuusi.

Seega ÕIGUS, ab_x.

ABCD : CD = BCD
CD
_____
. EC
. DF
______
. .BCD
. .BCD

3125 : 25 = 125

Ruumis on 5 inimest. Põhjendage, et on nende seas vähemalt 2 inimest, kellel on nende viie seas ühepalju sõpru. (Sõprus on teatavasti vastastikune.)

Ühel inimesel saab viieliikmelises seltskonnas olla 1, 2, 3 või 4 sõpra. Kuna inimesi on 5, erinevaid sõprade arve aga ainult 4, siis vähemalt kahel peab olema sama arv sõpru. Kui seal ruumis on keegi, kellel ei ole ühtegi sõpra, siis ülejäänud neljal inimesel võib olla 1, 2 või 3 sõpra - ikka on inimesi rohkem, kui erinevaid võimalusi.

Avalda murrud 1/4, 1/6 ja 1/8 kasutades numbreid
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9, selleks on
Abiks: 1/4 lugejas esimene 3, viimane 2, nimetajas esimene 1 viimane 8;

3942 / 15768

Abiks: 1/6 lugejas esimene 2, viimane 3, nimetajas esimene 1 viimane 8;

2943 / 17658

Abiks: 1/8 lugejas esimene 3, viimane 7, nimetajas esimene 2, viimane 6.

3187 / 25496

Pank ostis hommikul 5000 ühe ettevõtte aktsiat alghinnaga a 80 krooni ja 600 000 krooni eest teise ettevõtte aktsiaid. Päeva jooksul aktsiate hinnad tõusid ning pank müüs samal päeval kõik aktsiad edasi. Esimese ettevõtte aktsia hind edasimüümisel oli 110 kr. ja teise ettevõtte aktsiate müügist sai pank kasu 15%. Kui suur oli panga selle päeva kasumiprotsent?

Hommikul pani pank mängu 400 000 + 600 000 = 1 000 000 krooni, õhtul sai müües 550 000 + 690 000 = 1 240 000 krooni. Kasum 24%.

Ühistu maast on 80% põldude all ja 51ha on metsa. Mittepõllumaast on 15% heinamaa. Mitu hektarit on ühistul heinamaad ja mitu protsenti see moodustab ühistu kogu maast?


Metsa on 85% 20%-st ehk 17% ühistu maast. Kui 17% on 51ha, siis 100% (ehk kogu ühistu maa) on 300ha.
Heinamaad on 15% 20%-st ehk 3% ühistu maast ehk 9ha.

V: 3125/25 = 125 ÕIGE, ab_x.

ÕIGUS, ab_x.
On neli võimalust, aga inimesi on viis. Järelikult on nende seas vähemalt kaks, kellel on ühepalju sõpru.

ÕIGE ja "surun kätt!", ab_x!
V: ¼=3942/15768; 1/6=2943/17658; 1/8=3187/25496;

ÕIGUS, ab_x, V: 24%.

ÕIGE, ab_x, V: 9 ha ja 3%.

Paarikaupa, krooniaegsed ja € aegsed, valuutavahetus nõudis mat ül koostajailt lisatööd :)

Antikvariaat ostis 2 raamatut 224 krooni eest ja sai need edasi müües 40% kasumit. Leia mõlema raamatu müügihind teades, et esimese raamatu müügist saadi 15% ja teise raamatu müügist 50% kasumit.

Antikvariaat ostis 2 raamatut 43,7 € eest ja sai need edasi müües 40% kasumit. Leia mõlema raamatu müügihind teades, et esimese raamatu müügist saadi 15% ja teise raamatu müügist 50% kasumit.

Kingade hinda alandati 10%, uueks hinnaks saadi 54 €. Kuu aja pärast alandati hinda veel 30% võrra. Leia kingade alg- ja lõpphind.

Kingade hinda alandati 10%, uueks hinnaks saadi 198 krooni. Kuu aja pärast alandati hinda veel 30% võrra. Leia kingade alg- ja lõpphind.

(Surun kätt on jutumärkides, sest piltlikult kujutasin käesurumist läbi ekraani :D)
Peamurdmist.

Dirichlet’ printsiibist saab järeldada
Kui N puuris on vähem kui N(N-1)/2 jänest, siis leidub jäneste mistahes paigutuse korral vähemalt kaks puuri, milledes on ühepalju jäneseid (võib olla et mitte ühtegi).

1) Leia võimalikud jäneste arvud, kui puure on 8 ning
a) vähemalt ühes puuris on vähemalt kaks jänest,
b) leiduks vähemalt kaks puuri, milledes on ühepalju jäneseid.
2) Leia võimalikud puuride arvud, kui jäneseid on 8 ning
a) vähemalt ühes puuris on vähemalt kaks jänest,
b) leiduks vähemalt kaks puuri, milledes on ühepalju jäneseid.

Peamurdmist:
Köögikapis on kolm kommikotti, kõigis algul ühepalju komme. Iga kord, kui Juku köögis käib, võtab ta kas ühest kotist kolm kommi või igast kotist ühe kommi. Tõesta, et sõltumata sellest, kuidas Juku komme võtab, säilib tal igal hetkel võimalus kõik kommikotid tühjaks võtta.

Taastada kodeeritud liitmistehe. Kodeeringus ei esine „9“ ega „0“.
A B C D A E 2 5 + 5 2 B C D 2 H = B 2 D C E 2 D E

Köögikapis on kolm kommikotti, kõigis algul ühepalju komme. Iga kord, kui Juku köögis käib, võtab ta kas ühest kotist kolm kommi või igast kotist ühe kommi. Tõesta, et sõltumata sellest, kuidas Juku komme võtab, säilib tal igal hetkel võimalus kõik kommikotid tühjaks võtta.

Kommikotte oli kolm, kõigis ühepalju komme, seega kommide koguarv jagus kolmega. Juku käis komme võtmas kolmekaupa, olgu siis ühest kotist kolm või kolmest kotist ükshaaval, kokku kolm, seega jääk jäi alati jaguma kolmega. Pisitasa küll, kuid lõpuks saabub viimane köögis krabistamise kord ja viimased kolm kommi kaovad Juku hambaarsti järgi igatsevate kikude vahele.

Aga teine lhendus on veel:"Tõesta, et ... säilib tal igal hetkel võimalus kõik kommikotid tühjaks võtta."
Pole probleemi: Jukul pole ilmselt kedagi kodus ja ta võib iga hetk kommikottide sisu endale lihtsalt karmanisse pistata. Kuidas muidu saab ta iga pisku aja järel küügis krattimas käis ilma, et keegi karmilt teataks, et "Oota nüüd, tänane komminorm on täis ja kas sul üldse koolitükid on tehtud?"

Moosimadu, ÕIGUS.

See on sulaõnn, et sa siin teemas oma vahva huumoriga rehkendamise väga lõbusaks teed. Ja ab_x on sulle parajaks kaaslaseks, "hambameheks", nautida ma mõistan, kaasalöömiseks olen kohmakas.
Aitäh, teile.

Teise arbuusiülesande ÜLEKANNE

Meil on teatud hulk arbuuse. Kas on võimalik neid jaotada 4 korvi nii, et kui korvid paigutada ringjoonele, siis mistahes kahes ringjoonel kõrvuti asetsevates korvides on arbuuside arv täpselt ühe võrra erinev?
Aga kui meil oleks a) 3 korvi, b) 98 korvi, c) 99 korvi ?
See on analoogiline Kaval-Antsu omaga.

Peeter tahab tahvlile kirjutada 55 ERINEVAT kahekohalist arvu nii, et nende seas ei oleks kahte arvu, millede summa on 100. Kas ta saab seda teha? (abiks: pane kahekohalised arvud paari, väiksem-suurem)

Kui korve on 4 või 98 on see võimalik. Näiteks asetades esimesse korvi
ühe arbuusi, teise kaks, kolmandasse ühe ja neljandasse jälle kaks. Kui korvid järjest
nummerdada, siis korvidesse, mille number on paaritu, paneme ühe arbuusi ning
korvidesse, mille number on paarisarv, paneme kaks arbuusi.
Kaks arvu, mis erinevad ühe võrra on erineva paarsusega. Mis tähendab, et kõigis
korvides, millede järjekorranumber on paaritu, on arbuuside arv sama paarsusega.
Seega, kui korvide koguarv on paaritu, satuvad kõrvuti kaks korvi, millede
järjekorranumbrid on mõlemad paaritud ning neis on sama paarsusega arv arbuuse.
Järelikult, kui korve on 3 või 99, siis ei saa arbuuse nõutud viisil korvidesse paigutada.
...........

Peeter tahab tahvlile kirjutada 55 erinevat
kahekohalist arvu nii, et nende seas
ei oleks kahte arvu, millede summa on 100. Kas ta saab seda teha ?
Lahendus
: Ei saa. Vaatleme kõiki kahekohalisi
arve. Jaotame arvud 10 kuni 90 (välja
arvatud arv 50) paaridesse: (10, 90); (11,89); . . . ; (49,51).
Iga paari summa on 100. Selliseid paare on 40 ja
veel on 10 arvu ilma paariliseta. Need
arvud on 50, 91, 92, ... , 99. Seega kokku on 50 “puuri” (40 + 10).
Peeter tahab kirjutada 55 arvu, ag
a 55 > 50, seega kirjutab ta
kindlasti kaks arvu ühest
paarist, aga nende summa on 100.
.........

Pea pole prügikast! Spikerdamine on lubatud. Ja vastused on ÕIGED.

Taastada kodeeritud liitmistehe. Kodeeringus ei esine „9“ ega „0“.
A B C D A E 2 5 + 5 2 B C D 2 H = B 2 D C E 2 D E

67146825 + 5271423 = 72418248

ÕIGUS, ab_x.

Puust ja punaseks Peetri ülesanne.
Ta kirjutab arvud 10, 11, 12, 13 . . . 48, 49 - neid on kokku 40 arvu,
jätkab 50, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 - neid on kokku 10,
kokku on 50 arvu, mille hulgast ei ole võimalik saada summaks 100 kahe arvu liitmisel. Ja rohkem kahekohalisi arve ei olegi, sest teine variant oleks Peetril kirjutada 51, 52, 53, 54, . . . 89, 90 ja taas needsamad 10, mis olid esimeses variandiski. Üle 50 arvu ei saa kuidagi.
V: Peetri tahtmine kirjutada 55 arvu ei ole võimalik.